COMPLEJOS



NÚMEROS IMAGINARIOS
 
 

Existen ecuaciones que no tienen solución en el conjunto de los números reales, por ejemplo  no tiene solución en R ya que no existe ningún número real que elevado al cuadrado dé -9. Para solucionar problemas en los que aparezcan raíces cuadradas de números negativos, es preciso ampliar el conjunto de los números reales R, construyendo un nuevo conjunto, C, de manera que R sea un subconjunto de C y de modo que en ese nuevo conjunto se conserven las propiedades de las operaciones y todos los números tengan raíz cuadrada. Para ello se define la unidad imaginaria.

Unidad imaginaria i, es aquel número que elevado al cuadrado da -1: ;

La ecuación  tiene que cumplir , entonces:

 

1.- Resuelve y verifica en tu carpeta las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas. Escribe el conjunto solución.

a) x2 + 4 = 0          b) -x2 - 9 = 0                  c) 8x2 + 32 = 0          d) 9x2 +16 = 0

e) x2 + 5 = 0          f) x2 - 6 = 2(x2 +5)          g) x (x +5) - 5 (x - 1) = 0

h) -2 x2 - 24 = 0     i) 4x2 + 25 = 0

 

La ecuación  no tiene raíces reales ya que el discriminante es negativo.

 

2.- Resuelve y verifica en tu carpeta las siguientes ecuaciones de segundo grado completas. Escribe el conjunto solución.

 

a) x2 - 2x + 5 = 0       b) x2 - 4x + 5 = 0        c) x2 + 2x + 10= 0       d) 2x2 + 2x + 5= 0

 

e) 8x2 - 4x + 5 = 0       f) x2 + 2x + 2 = 0       g) x2 + x + 1= 0        h) x2  - 2x + 10 = 0


 

NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA
 
 

Una expresión de la forma a+bi en la que a y b son dos números reales cualesquiera e i es la unidad imaginaria, se denomina número complejo.

a+bi es la forma binómica del número complejo; a es la parte real y b es la parte imaginaria.

 

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN NÚMERO COMPLEJO
 
 

Cada complejo z = a+bi se representa por un vector con origen en el origen de coordenadas O, y extremo en el punto P(a, b). El punto P(a,b) se llama afijo del complejo.

a se representa sobre el eje de abscisas que recibe el nombre de eje real

b se representa sobre el eje de ordenadas que recibe el nombre de eje imaginario

Si b=0, el complejo a+bi se identifica con el número real a. Su afijo está sobre el eje real.

Si a=0, el número complejo a+bi tiene sólo parte imaginaria, recibe el nombre de imaginario puro. Su afijo está sobre el eje imaginario.

Si a=0 y b=0, el complejo a+bi es el complejo 0. Su afijo coincide con el origen de coordenadas.
 
 

3.- Representa en tu carpeta los complejos:
z1 = 1 + 2i ; z2 = -3 + 2i ; z3 = -4 - 1/2i ;  z4 = 3/2 - 1/4i ; z5 = 3/2 ; z6 = 1/4 i

 

Comprueba el resultado modificando los parámetros a y b en la escena anterior.
 
 
 

OPUESTO Y CONJUGADO DE UN NÚMERO COMPLEJO. REPRESENTACIÓN GRÁFICA.


 
Complejo:
Complejo opuesto de z:
Complejo conjugado de z
a + bi 
- a - bi
a - bi

4.- Halla los opuestos y conjugados de los complejos del ejercicio anterior. En cada ítem, representa gráficamente el número, su opuesto y el conjugado, en los mismos ejes.
 

Comprueba el resultado modificando los parámetros a y b en la escena anterior.
 

SUMA, RESTA Y MULTIPLICACIÓN DE COMPLEJOS

EN FORMA BINÓMICA
 
 

Si z1= a + bi y z2 = c + di

Su suma es: z1 + z2 =(a + bi)+(c + di)= (a+c)+(b+d)i

Ejemplo: z1 + z2 = (2 + 3i) + (1 -5i) = (2 + 1) + (3i - 5i) = 3 - 2i

La resta es: z1-z2 = z1+(-z2)= (a + bi) + (-c - di) = (a-c) + (b-d)i

Ejemplo: z1 - z2 = (2 + 3i) - (1 -5i) = (2 + 3i) + (-1 +5i) = (2 - 1) + (3 + 5i) = 1 + 8i

Su producto es: z1·z2 =(a + bi)·(c + di)= (ac-bd) + (bc+ad)i

Ejemplo: z1 . z2 = (2 + 3i) . (1 -5i) = 2 -10i + 3 i - 15 i2 = 2 - 10i + 3i + 15 = 17 - 7i

 

 

5.- Calcula en tu cuaderno: z1+z2 ; z1 - z2 ; z1 · z2 , siendo:

a) z1 = 4 + 3i ; z2= -1 + 3i

b) z1 = -2 + i ; z2 = 3 + 5i

c) z1 = -2 + 1/2 i ; z2 = 3/2 + 5i

Comprueba los resultados en la escena anterior, mirando los afijos de los complejos obtenidos.
 

 

DIVISIÓN DE COMPLEJOS

EN FORMA BINÓMICA


 

Si z = a+ bi siendo z ‡ 0, su inverso es:  ,

se comprueba fácilmente que el producto de ambos es 1.

Si z1 = a + bi y z2 = c + di, siendo z2 ‡ 0, su cociente es:

 

como:

vemos que: 


 

 


 

6.- Calcula en tu cuaderno: z1/z2 , siendo:

a) z1 = 4 + 3i ; z2= -1 + 3i

b) z1 = -2 + i ; z2 = 3 + 5i

c) z1 = -2 + 1/2 i ; z2 = 3/2 + 5i

Comprueba los resultados en la escena anterior, mirando los afijos de los complejos obtenidos.


 

POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA i
 
 

Teniendo en cuenta que , si queremos calcular, por ejemplo , dividimos 27 entre 4:

y vemos que.

Luego la potencia de i con exponente "n" coincide con la potencia de i que tiene por exponente el resto de la división n entre 4.

   

7.- Calcula las potencias de i de exponentes: 25, 58, 243, -97, 164, -1545.

a) i27 =          b) i44 =          c) i242 =          d) i69 =          e) i94 =          f) (i12)4 =

 

g) (i3)5 =        h) (i9)27 =       i) i33 . i11 =      j) i2002 : i3 =


 
 

CUADRADO Y CUBO DE UN BINOMIO
 
 

Para elevar al cuadrado o al cubo un complejo, se desarrolla el cuadrado o el cubo de un binomio.

 a) (3 + 2i)2 = 32 + 2 . 3 . 2i + (2i)2 = 9 +12i + 4i2 = 9 + 12i + 4 . (-1) = 9 + 12i - 4 = 5 + 12i

 b) (2 - 5i)2 = 22 + 2 . 2 . (-5i) + (-5i)2 = 4 -20i + 25i2 = 4 - 20i + 25 . (-1) = 4 - 20i - 25 = - 21 - 20i

 c) (2 + i)3 = 23 + 3 . 22 . i + 3 . 2 . i2 + i3 = 8 +12i + 6 . (-1) + (-i) = 8 + 12i - 6 + - i  = 2 + 11 i

 d) (5 - 2i)3 = 53 + 3 . 52 . (-2i) + 3 . 5 . (-2i)2 + (-2i)3 = 125 -150i + 15 . 4i2 - 8i3 = 125 - 150i + 60 . (-1) + 8i  = 65 - 142 i

 

 

 

8.- Calcula en tu cuaderno las siguientes potencias:

a) (-1 + 3i)2 =          b) (4 - i)3 =         

c) (2 + i)4 =             d) (√2 - √3 i)2 =

 

 

 

 

 

 

   
                       

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Profesor: Fabián Negri

 

 
 Escuela 4 - 016 Ingeniero Antonio Marcelo Arboit. Junín (Mza.).